五個獨立的項目各以 0.2 的機率發生。五個全部發生的機率是多少？發生個數的期望值又是多少？

Step-by-step solution

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   建立模型。 設 $X$ 為這五個項目中發生的個數。每個項目都以相同的機率 $p=0.2$ 獨立發生，這正好是二項隨機變數的定義：

   $X\sim\mathrm{Bin}(n,p)=\mathrm{Bin}(5,\,0.2).$

   先把模型命名清楚，兩個小題才會變成一行就查得到的結果，而不是臨時湊出來的推理。

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   (a) 獨立事件的機率相乘。 對獨立事件而言，全部發生的機率就是各機率的乘積：

   $P(X=5)=0.2\times0.2\times0.2\times0.2\times0.2=0.2^{5}=0.00032.$

   換算成百分比是 $0.032\%$ — 大約是 $3125$ 分之一的機會，因為 $0.2=\tfrac15$ 而 $5^{5}=3125$。獨立性在這裡是關鍵；沒有它就不能用乘法法則。

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   用二項公式做合理性檢查。 一般項是 $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$。取 $k=n=5$：

   $\binom{5}{5}(0.2)^{5}(0.8)^{0}=1\times0.00032\times1=0.00032 ✓,$

   這確認了直接相乘與正式的二項機率一致。

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   (b) 用二項分布的平均數。 二項變數的期望值是

   $E[X]=np=5\times0.2=1.$

   背後的道理是期望值的線性：寫成 $X=I_{1}+\cdots+I_{5}$，其中指示變數 $I_{j}$ 在第 $j$ 個項目發生時為 $1$。於是 $E[I_{j}]=p=0.2$、$E[X]=5\times0.2=1$ — 而且這個論證甚至不需要獨立性。

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   把兩個數字合起來解讀。 平均而言五個項目中恰有一個發生，但五個全部發生卻極為罕見，只有 $0.00032$。這並不矛盾：分布嚴重偏向較小的計數，$P(X=0)=0.8^{5}=0.32768$ 與 $P(X=1)=5(0.2)(0.8)^{4}=0.4096$ 兩者就佔了約 $74\%$ 的機率。變異數 $np(1-p)=0.8$ 也印證離散程度很小。