設 (X, Y) 的聯合密度為 f(x, y) = c x² y，定義在區域 x² ≤ y ≤ 1 上，其餘為 0。求 c、兩個邊際密度，並判斷 X 與 Y 是否獨立。

Step-by-step solution

1. 1

   積分之前先把支撐集描述清楚。 條件 $x^{2}\le y\le 1$ 蘊含 $x^{2}\le 1$，所以 $-1\le x\le 1$：這個區域就是拋物線 $y=x^{2}$ 與水平線 $y=1$ 之間的部分。漏掉 $x$ 這個隱含的範圍是最常見的第一個錯誤。

2. 2

   做正規化，先對 y 積分。

   $\int_{-1}^{1}\!\!\int_{x^{2}}^{1}cx^{2}y\,dy\,dx=\int_{-1}^{1}cx^{2}\cdot\frac{1-x^{4}}{2}\,dx=\frac{c}{2}\int_{-1}^{1}\left(x^{2}-x^{6}\right)dx$

   兩個被積函數都是偶函數，所以

   $\frac{c}{2}\left(\frac23-\frac27\right)=\frac{c}{2}\cdot\frac{8}{21}=\frac{4c}{21}=1\quad\Longrightarrow\quad c=\frac{21}{4}$

3. 3

   求 X 的邊際密度。 對每個 $x\in[-1,1]$，把 $y$ 從 $x^{2}$ 積到 $1$：

   $f_X(x)=\int_{x^{2}}^{1}\frac{21}{4}x^{2}y\,dy=\frac{21}{4}x^{2}\cdot\frac{1-x^{4}}{2}=\frac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right),\qquad -1\le x\le 1$

4. 4

   求 Y 的邊際密度。 對每個 $y\in[0,1]$，條件 $x^{2}\le y$ 表示 $-\sqrt y\le x\le\sqrt y$：

   $f_Y(y)=\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\frac{21}{4}x^{2}y\,dx=\frac{21}{4}y\cdot\frac{2y^{3/2}}{3}=\frac{7}{2}y^{5/2},\qquad 0\le y\le 1$

5. 5

   判斷獨立性。 支撐集是被拋物線圍出來的，不是矩形 — $X$ 的可能取值會隨著 $Y$ 變小而縮減 — 所以兩個變數不可能獨立。用公式確認：

   $f_X(x)f_Y(y)=\frac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right)\cdot\frac72y^{5/2}\neq\frac{21}{4}x^{2}y=f(x,y)$

   $\boxed{c=\tfrac{21}{4};\ f_X(x)=\tfrac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right),\ f_Y(y)=\tfrac72y^{5/2};\ \text{不獨立}}$

6. 6

   檢查兩個邊際密度的積分是否都等於 1。 $\int_{-1}^{1}\tfrac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right)dx=\tfrac{21}{8}\cdot 2\left(\tfrac13-\tfrac17\right)=\tfrac{21}{4}\cdot\tfrac{4}{21}=1$ ✓ 且 $\int_{0}^{1}\tfrac72y^{5/2}dy=\tfrac72\cdot\tfrac{2}{7}=1$ ✓。