一個箱子裡有 5 顆紅球與 7 顆藍球。不放回地隨機抽出五顆球。抽到至少一顆藍球的機率是多少？

Step-by-step solution

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   先數樣本空間。 共有 $5+7=12$ 顆球，抽取不計順序且不放回，所以等可能的抽法數為 $\binom{12}{5}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5!}=\frac{95040}{120}=792.$

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   改用補事件，不要逐項加總。「至少一顆藍」需要把藍球顆數 $1,2,3,4,5$ 五種情形加起來 — 共五項。它的補事件卻只有一種：「零顆藍」，也就是抽到的五顆全是紅球，所以補事件法則 $P(\text{至少一顆藍})=1-P(\text{沒有藍球})$ 把五次計算變成一次。

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   數出全紅的抽法。 紅球恰好只有 $5$ 顆，所以要抽到 $5$ 顆紅球就等於把紅球全部拿走：$\binom{5}{5}\binom{7}{0}=1\cdot 1=1.$ 這正是這裡補事件如此之小的原因 — 完全避開藍球只有一種方式。

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   組出機率。 $P(\text{沒有藍球})=\frac{1}{792},\qquad P(\text{至少一顆藍})=1-\frac{1}{792}=\frac{792-1}{792}=\frac{791}{792}.$

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   解讀這個數字。 $\tfrac{791}{792}=0.998737\ldots\approx 99.87\%$。直覺上也吻合：藍球比紅球多，而且你一次拿走了將近半箱，所以要完全避開藍球幾乎不可能。