設 (X, Y) 的聯合密度為 f(x, y) = cx，其中 0 < x ≤ 1 且 0 ≤ y ≤ x，其餘為 0。求 c、兩個邊際密度，並判斷 X 與 Y 是否獨立。

Step-by-step solution

1. 1

   在三角形支撐集上做正規化。 先對 $y$ 積分最省事，因為內層積分裡 $x$ 是常數：

   $\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{x}cx\,dy\,dx=\int_{0}^{1}cx\cdot x\,dx=c\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{c}{3}=1$

   $c=3$

2. 2

   求 X 的邊際密度。 固定 $x\in(0,1]$，在切片 $0\le y\le x$ 上把 $y$ 積掉：

   $f_X(x)=\int_{0}^{x}3x\,dy=3x\cdot x=3x^{2},\qquad 0<x\le 1$

3. 3

   求 Y 的邊際密度。 固定 $y\in[0,1]$；支撐集要求 $x\ge y$，所以 $x$ 從 $y$ 積到 $1$：

   $f_Y(y)=\int_{y}^{1}3x\,dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}\right]_{y}^{1}=\frac32\left(1-y^{2}\right),\qquad 0\le y\le 1$

   把這一個的積分上下限抓對 — $x$ 是從 $y$ 到 $1$，而不是從 $0$ 到 $1$ — 正是本題的關鍵。

4. 4

   把兩個邊際密度相乘來檢驗獨立性。

   $f_X(x)f_Y(y)=3x^{2}\cdot\frac32\left(1-y^{2}\right)=\frac92x^{2}\left(1-y^{2}\right)$

   它並不等於 $f(x,y)=3x$。

5. 5

   給出結構上的決定性理由。 其實不必比對公式，光看支撐集就能定案：區域 $0\le y\le x$ 不是矩形，所以 $Y$ 的取值範圍會隨 $X$ 的值而改變。獨立會要求支撐集是一個乘積集合。

   $\boxed{c=3;\ f_X(x)=3x^{2},\ f_Y(y)=\tfrac32\left(1-y^{2}\right);\ X\text{ 與 }Y\text{ 不獨立}}$

6. 6

   檢查兩個邊際密度的積分是否都等於 1。 $\int_{0}^{1}3x^{2}dx=1$ ✓ 且 $\int_{0}^{1}\tfrac32\left(1-y^{2}\right)dy=\tfrac32\left(1-\tfrac13\right)=1$ ✓，這同時確認了 $c$ 的值與兩處積分上下限的選取。