某數學班有一半的學生成就測驗考 40 分，除了少數幾位考 80 分之外，其餘學生考 58 分。關於這個分布，下列何者正確：平均數等於中位數、平均數小於眾數、平均數小於中位數，還是平均數大於中位數？

Step-by-step solution

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   設好符號，不要憑感覺推理。 令 $N$ 為班級人數（偶數），則有 $\tfrac{N}{2}$ 位學生考 $40$ 分，$k$ 位考 $80$ 分（$k$ 很小且 $k \ge 1$），其餘 $\tfrac{N}{2} - k$ 位考 $58$ 分。以下推導只用到這些人數，所以結論不會取決於「少數幾位」怎麼解讀。

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   精確定出中位數。 由小到大排序後，第 $1$ 到第 $\tfrac{N}{2}$ 個位置全都是 $40$；從第 $\tfrac{N}{2}+1$ 個位置起則是 $58$，再來才是 $80$。$N$ 為偶數時，中位數取第 $\tfrac{N}{2}$ 與第 $\tfrac{N}{2}+1$ 個位置的平均：

   $\text{中位數} = \frac{40 + 58}{2} = 49$

   它與 $k$ 無關 — 這是關鍵，因為這表示只有平均數會動。

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   用封閉形式算出平均數。

   $\text{平均數} = \frac{40\cdot\tfrac{N}{2} + 58\left(\tfrac{N}{2} - k\right) + 80k}{N} = \frac{49N + 22k}{N} = 49 + \frac{22k}{N}$

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   比較。 因為 $k \ge 1$，項 $\tfrac{22k}{N}$ 嚴格為正，所以

   $\text{平均數} = 49 + \frac{22k}{N} > 49 = \text{中位數}$

   這個分布是右偏的：一小群遠高於主體的資料把平均數拉過中位數，中位數本身卻不動。選項 D 正確。

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   排除其他選項。 A 錯，因為平均數嚴格大於 $49$。C 把不等號寫反了。B 也錯，因為眾數是 $40$（半個班），而平均數在 $49$ 以上，所以平均數是大於眾數，而不是小於。

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   用具體數字檢查。 取 $N = 20$、$k = 3$：十個 $40$ 分、三個 $80$ 分、七個 $58$ 分。平均數 $= \tfrac{400 + 240 + 406}{20} = 52.3$，中位數 $= 49$，眾數 $= 40$。取 $N = 40$、$k = 5$：平均數 $= 51.75$，中位數 $= 49$。兩者都與公式 $49 + \tfrac{22k}{N}$ 吻合。