從裝有編號 1、2、3 三張卡片的袋子中抽一張，記下號碼後放回。重複五次，求恰好記錄到一次 3 的機率。

Step-by-step solution

1. 1

   確認這些試驗符合二項模型。 卡片每次都放回，所以五次抽取彼此獨立，而且每次出現 $3$ 的機率都是 $p=\tfrac13$。試驗次數固定為 $n=5$ 且要數的是成功次數，於是二項模型適用：

   $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k}$

2. 2

   選出哪一次抽到 3。 那唯一的 $3$ 可以出現在五次抽取中的任何一次：

   $\binom{5}{1}=5$

   漏掉這個因子是最常見的錯誤，會讓答案小五倍。

3. 3

   把某一種固定模式的機率相乘。 對於「哪一次是 $3$」的特定選擇：那一次的機率是 $\tfrac13$，另外四次都必須出現 $1$ 或 $2$，各為 $\tfrac23$：

   $\frac13\left(\frac23\right)^{4}=\frac13\cdot\frac{16}{81}=\frac{16}{243}$

4. 4

   合起來。

   $P=5\cdot\frac{16}{243}=\frac{80}{243}\approx 0.329$

   $\boxed{\dfrac{80}{243}}$

5. 5

   與整個二項分布對照檢查。 $k=0,\ldots,5$ 時 $\binom5k(\tfrac13)^k(\tfrac23)^{5-k}$ 這六個機率依序是 $\tfrac{32}{243},\tfrac{80}{243},\tfrac{80}{243},\tfrac{40}{243},\tfrac{10}{243},\tfrac{1}{243}$，加總為 $\tfrac{243}{243}=1$ ✓。出現 $3$ 的次數期望值是 $np=\tfrac53\approx 1.67$，所以 $k=1$ 會是兩個最可能的結果之一，完全符合預期。