一張表格給出每日缺勤 0、1、2、3、4、5 人的機率依序為 0.20、0.18、0.10、0.25、0.25 與 0.02。求每日缺勤人數的平均數與變異數，以及某天缺勤超過兩人的機率。

Step-by-step solution

1. 1

   先驗證這張表。 一個機率分布的各機率必須加總為 $1$：

   $0.20 + 0.18 + 0.10 + 0.25 + 0.25 + 0.02 = 1.00 \;\checkmark$

   若這一步就不成立，後面每一個數字都沒有意義，所以這十秒鐘值得花。

2. 2

   用 $\sum x P(x)$ 求平均數。

   $\mu = 0(0.20) + 1(0.18) + 2(0.10) + 3(0.25) + 4(0.25) + 5(0.02)$

   $= 0 + 0.18 + 0.20 + 0.75 + 1.00 + 0.10 = 2.23$

   所以平均而言，一天有 $2.23$ 位員工缺勤。

3. 3

   先算 $E(X^2)$，再用捷徑求變異數。 把每個 $x$ 平方後再加權：

   $E(X^2) = 0(0.20) + 1(0.18) + 4(0.10) + 9(0.25) + 16(0.25) + 25(0.02)$

   $= 0 + 0.18 + 0.40 + 2.25 + 4.00 + 0.50 = 7.33$

4. 4

   減去平均數的平方。 計算公式 $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$ 可以省下六個各別的偏差平方：

   $\sigma^2 = 7.33 - (2.23)^2 = 7.33 - 4.9729 = 2.3571$

   $\sigma = \sqrt{2.3571} = 1.5353$

   注意順序：是把平均數平方，不是把平方的平均當成變異數。

5. 5

   (b) 把大於 2 的機率加起來。「超過兩人」指的是 $x = 3, 4, 5$ — 它不包含 $x = 2$：

   $P(X > 2) = 0.25 + 0.25 + 0.02 = 0.52$

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   用長式重算變異數做交叉檢查。 把 $(x-\mu)^2 P(x)$ 加總：$(0-2.23)^2(0.20) = 0.99458$、$(1-2.23)^2(0.18) = 0.272322$、$(2-2.23)^2(0.10) = 0.00529$、$(3-2.23)^2(0.25) = 0.148225$、$(4-2.23)^2(0.25) = 0.783225$、$(5-2.23)^2(0.02) = 0.153458$。總和 $= 2.3571$ ✓，與捷徑完全吻合。另外 $P(X \le 2) = 0.20+0.18+0.10 = 0.48$，而 $0.48 + 0.52 = 1$ ✓。