Math Glossary

An angle measures the rotation between two rays sharing a common endpoint (the vertex). Common units: degrees (full circle = 360°) and radians (full circle = 2π).

Area measures the size of a 2D region — how much surface it covers. Units are squared (cm², m²). Each shape has its own area formula.

A circle is the set of all points in a plane equidistant from a center. The constant distance is the radius; the longest chord through the center is the diameter (2× radius).

A function is continuous at a point if its value there equals the limit of its values as inputs approach the point — no jumps, holes, or asymptotes.

餘切是正切的倒數：cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)。定義域排除使 sin = 0 的角度。

餘割是正弦的倒數：csc(θ) = 1/sin(θ)。定義域排除使 sin = 0 的角（即 π 的整數倍）。

An exponent indicates how many times a base is multiplied by itself. In aⁿ, n is the exponent and a is the base. Example: 2³ = 2·2·2 = 8.

L'Hôpital's rule resolves indeterminate limits of the form 0/0 or ∞/∞ by replacing the limit with the limit of the derivatives' ratio.

A logarithm is the inverse of exponentiation: log_a(b) = c means a^c = b. It answers "what power of a gives b?"

The median is the middle value of a sorted dataset. For even-sized data, it is the average of the two middle values. Robust to outliers.

p 值是在虛無假設為真的前提下，觀察到至少與你的樣本一樣極端之資料的機率。p 值小代表有反對 H₀ 的證據。

A series is the sum of a sequence — finite or infinite. Whether an infinite series adds up to a finite number is determined by convergence tests.

正割是餘弦的倒數：sec(θ) = 1/cos(θ)。定義域排除使 cos = 0 的角度（π/2 + kπ）。

A triangle is a three-sided polygon whose interior angles always sum to 180°. Classified by sides (equilateral, isosceles, scalene) or angles (acute, right, obtuse).

t 分布像常態分布一樣呈鐘形，但尾部更厚。當樣本數較小或 σ 未知時，用於對平均數的推論。

Z 分數衡量某個數值高於或低於平均數多少個標準差。z = (x − μ) / σ。用於跨分布比較數值以及查表求機率。

一次方程式是圖形為直線的方程式。在單一變數時為 ax + b = 0；在兩個變數時為 ax + by = c。

三角恆等式是連結三角函數、對所有有效角度皆成立的等式，例如 sin²θ + cos²θ = 1。用於化簡式子與求解方程式。

三項式是恰有三項的多項式，例如 x² + 5x + 6。它是因式分解練習中最常見的類型。

不等式使用 <、≤、>、≥ 比較兩個式子。解在數線上構成區間或區間的聯集。

二次方程式是一個變數的二次多項式方程式，寫作 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。其圖形是一條拋物線。

二項式是恰有兩項的多項式，例如 x + 3 或 2x² - 5。與單項式（1 項）和三項式（3 項）相區別。

係數是代數式中位於變數前的數值因子。在 5x² 中，係數為 5。

信賴區間給出母體參數的一段合理數值範圍，並附帶一個明示的信賴水準（例如 95%），用以描述該程序在長期上的可靠度。

假設檢定利用樣本資料在關於母體的兩個相互競爭的主張之間做出判定。我們計算一個檢定統計量，若 p 值很小則拒絕虛無假設。

偏導數衡量多變數函數在僅改變一個變數、其餘變數保持不變時的變化情形。記號為 ∂f/∂x。

若能透過剛體運動（平移、旋轉、鏡射）將一個圖形變換成另一個圖形，則兩圖形全等——形狀相同且大小相同。

微積分中的最佳化是指尋找函數的最大值或最小值。令 f'(x) = 0 求出臨界點，再判定其為極大或極小。

函數是一條規則，對每個輸入恰好指定一個輸出。記法：f(x) = ... 表示「當 x 為輸入時 f 的輸出」。

切線恰在一點與曲線相切，並在該點與曲線的方向一致。對圓而言，切線在切點處與半徑垂直。

卡方檢定在類別資料中比較觀測次數與期望次數。χ² = Σ(O−E)²/E。用於適合度檢定與獨立性檢定。

反三角函數（arcsin、arccos、arctan）由三角比還原出角。arcsin(y) = x 表示 sin(x) = y，且輸出範圍受到限制。

向量是同時具有大小與方向的量。記法：⟨x, y⟩ 或 ⟨x, y, z⟩。向量逐分量相加，並支撐物理學、圖學與機器學習。

周長是二維圖形外圍的總長度。對於圓形，其周長稱為圓周長：C = 2πr。

單位圓是圓心在原點、半徑為 1 的圓。它為所有實數角度（不只是銳角）定義三角函數。

四分位數將資料集分成四等份。Q1（第 25 百分位數）、Q2（中位數，第 50 百分位數）、Q3（第 75 百分位數）。四分位距 Q3−Q1 是穩健的離散度量。

對一個式子做因式分解，就是把它重寫為較簡單式子的乘積，例如 x²+5x+6 = (x+2)(x+3)。它是展開的逆運算。

均值定理指出，對於 [a,b] 上的光滑函數，存在一點 c 使得 f′(c) 等於平均變化率 (f(b)−f(a))/(b−a)。

多邊形是由直線邊圍成的封閉二維圖形。常見類型：三角形（3）、四邊形（4）、五邊形（5）、六邊形（6）等。

多項式是若干項之和，每一項由一個常數乘以變數的非負整數次冪構成。例如：3x²+2x-7、x³-4x+1。

多項式的次數是其變數上最高的指數。次數 1 = 一次，2 = 二次，3 = 三次，4 = 四次。

函數的定義域是所有有效輸入的集合；值域是所有可能輸出的集合。兩者合起來就能完整描述該函數所對應的內容。

導數衡量函數的瞬時變化率——等價地說，就是函數圖形在某一點處切線的斜率。

常態分布（高斯分布）是一條鐘形機率曲線，完全由其平均數 μ 與標準差 σ 描述。它是統計學中許多內容的基礎。

平均數——又稱算術平均——是一組數值的總和除以數值的個數。它是資料集最常用的單一數值摘要。

平行四邊形是兩組對邊皆平行的四邊形。矩形、菱形與正方形皆為其特例。

座標系為空間中的點賦予數值。二維中以直角座標 (x, y) 最常見；具圓對稱時則使用極座標 (r, θ)。

弧度是長度等於半徑之弧所對應的角。一整圓為 2π 弧度（≈ 6.28）。是微積分中必需的單位。

振幅是波偏離其中心的最大幅度。對於 y = A sin(Bx)，振幅為 |A|。振幅愈大，波愈高。

若數列或級數趨近於一個有限極限，則稱為收斂；否則為發散。收斂判別法用來判斷屬於哪一種情形。

向量場的散度衡量每一點處的淨「外流量」。∇·F > 0 表示源（湧出），< 0 表示匯（吸入）。為流體力學與電磁學的基礎。

向量場的旋度衡量局部旋轉。∇×F 給出一個指向旋轉軸方向、大小與旋轉速率成正比的向量。

有理式是分子與分母皆為多項式的分數，例如 (x²-1)/(x+2)。透過因式分解並約去公因式來化簡。

根號表示方根：√a 是平方根，∛a 是立方根，ⁿ√a 是 n 次方根。根號是乘冪的反運算。

多變數函數 f(x,y,...) 的梯度是由各偏導數組成的向量。它指向函數上升最陡的方向，是梯度下降法的基礎。

梯形是至少有一組平行邊（稱為上下底）的四邊形。面積 = (1/2)(b₁+b₂)h。

極限描述當函數的輸入任意接近某個目標值時，函數所趨近的值——而不必真正達到。極限是導數與積分的基礎。

標準差衡量資料集圍繞其平均值的分散程度。標準差小表示數值緊密聚集；標準差大表示數值分散。

正弦、餘弦與正切是三個基本三角函數，定義為直角三角形邊長之比，並透過單位圓推廣至所有實數。

正弦定理將任意三角形的邊與其對角的正弦連結起來：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。

泰勒級數將一個平滑函數近似為由其在某一點的各階導數構成的無限次多項式。截斷後即得到多項式近似。

瑕積分指積分上下限為無窮，或被積函數在區間某處無界的積分。以正常積分的極限來計算其值。

畢氏定理指出：在任何直角三角形中，斜邊的平方等於另兩邊平方之和：a² + b² = c²。

第 k 百分位數是有 k% 的觀測值落在其以下的數值。第 50 百分位數即中位數；第 25 與第 75 百分位數即四分位數。

若一個圖形是另一個圖形按比例縮放後的複本，則兩個圖形相似——形狀相同，大小可能不同。所有對應角相等；所有對應邊成比例。

相位移是週期函數的水平平移。對 y = sin(Bx + C)，相位移為 -C/B（正值 = 向右，負值 = 向左）。

相關衡量兩個變數之間線性關係的強度與方向。皮爾森係數 r 落在 $[-1, 1]$：1 = 完全正相關，-1 = 完全負相關，0 = 沒有線性關係。

相關變化率問題將以某方程式相連結的兩個以上變數的變化率關聯起來。對時間使用隱函數微分。

眾數是資料集中出現最頻繁的數值。一個資料集可以有一個眾數、多個眾數或沒有眾數。對於類別型資料相當有用。

積分是求和的連續類比——最常見的是曲線下方的面積。定積分得到一個數值；不定積分得到反導函數。

絕對值 |x| 是數線上 x 到 0 的距離——恆為非負。|3| = 3，|-3| = 3。

線性迴歸對資料配適一條直線：y = mx + b。這條直線使各點到直線之鉛直距離的平方和最小（最小平方法）。

表面積是三維立體所有面的面積總和。它與體積不同：表面積以平方單位（cm²）表示，體積則以立方單位表示。

變異數衡量資料集相對於平均數的離散程度。它是離差平方的平均值。標準差是變異數的平方根。

貝氏定理可反轉條件機率：P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)。它是貝氏推論、醫學檢測與機器學習的基礎。

週期是三角函數完成一個完整循環所需的水平長度。sin 與 cos 的週期為 2π；tan 的週期為 π。

隱函數微分用於當 y 由方程式（如 x²+y²=25）隱式定義時，不必先解出 y 就求得 dy/dx。

餘弦定理把畢氏定理推廣到任意三角形：c² = a² + b² − 2ab cos(C)。用於 SSS 或 SAS 的三角形問題。

體積衡量一個立體所佔的三維空間。單位為立方（cm³、m³）。每種圖形各有其公式；微積分透過積分將其推廣。

黎曼和透過將區域分割成矩形來逼近曲線下的面積。當矩形變得越來越細時，此和收斂到定積分。