Series (Infinite Sum)

級數是一個數列各項的和。有限級數 $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ 只是普通的加法。無窮級數 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 是當 $n \to \infty$ 時部分和 $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ 的極限。

若 $\lim_{n\to\infty} S_n$ 存在且有限，則級數收斂；否則發散。著名例子：

• 幾何級數 $\sum r^n$ 當 $|r| < 1$ 時收斂於 $\frac{1}{1-r}$。
• 調和級數 $\sum \frac{1}{n}$ 會（緩慢地）發散。
• 巴塞爾問題：$\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$。

收斂性由各種審斂法判定：比值審斂法、根值審斂法、積分審斂法、比較審斂法、交錯級數審斂法。泰勒級數以任意高次的多項式逼近函數——是數值分析與物理近似的基礎。