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geometry

向量

向量是同時具有大小與方向的量。記法：⟨x, y⟩ 或 ⟨x, y, z⟩。向量逐分量相加，並支撐物理學、圖學與機器學習。

向量同時具有大小與方向，相對地純量只有大小。

座標：v⃗=⟨x,y⟩\vec{v} = \langle x, y \rangle（二維）或 ⟨x,y,z⟩\langle x, y, z \rangle（三維）。大小 ∣v⃗∣=x2+y2+⋯|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + \cdots}。

運算：

  • 加法／減法：逐分量進行。
  • 純量乘法：縮放大小。
  • 內積（點積）：u⃗⋅v⃗=∑uivi=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum u_i v_i = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta——衡量方向一致程度，結果為純量。
  • 外積（叉積，僅限三維）：u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}——同時垂直於兩者，大小為 ∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta。

向量可描述物理（力、速度）、圖學（位置、法線）、機器學習（特徵向量、梯度、嵌入）與幾何。將其推廣到更高維度與抽象空間（希爾伯特空間）是現代數學許多分支的基礎。