trigonometry

正割(sec)

正割是餘弦的倒數:sec(θ) = 1/cos(θ)。定義域排除使 cos = 0 的角度(π/2 + kπ)。

正割 sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}。

定義域:θ≠π/2+kπ\theta \neq \pi/2 + k\pi。值域:∣sec⁡θ∣≥1|\sec\theta| \geq 1。

直角三角形:sec⁡θ=斜邊鄰邊\sec\theta = \frac{\text{斜邊}}{\text{鄰邊}}。

畢氏恆等式:1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta —— 在微積分積分中很有用(例如涉及 a2+x2\sqrt{a^2 + x^2} 的三角代換)。

導數:ddxsec⁡x=sec⁡xtan⁡x\frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x。

積分:∫sec⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C —— 出乎意料地棘手;教科書的標準技巧是乘以 sec⁡x+tan⁡xsec⁡x+tan⁡x\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}。

正割在餘弦為零的每個 π/2\pi/2 倍數處有垂直漸近線,漸近線之間呈 U 字形。現代用法主要透過積分/導數公式;做算術時,學生會將其轉換為 1/cos⁡1/\cos。

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