單位圓

單位圓是座標平面上圓心在原點、半徑為 $1$ 的圓：$x^2 + y^2 = 1$。

它的威力在於能將三角學推廣到直角三角形之外。對於從正 x 軸逆時針量起的任意角度 $\theta$，單位圓上對應該角度的點為 $(\cos\theta, \sin\theta)$。

這一個定義就能給出：

• 對所有實數 $\theta$ 的 $\sin\theta$ 與 $\cos\theta$（不只是 $0° < \theta < 90°$），
• 週期性 $\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$，
• 畢氏恆等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$（這實際上就是圓的方程式），
• $\sin$ 與 $\cos$ 在各象限的正負號。

只要背熟第一象限的關鍵角度（$0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$）並運用對稱性，就能涵蓋整個圓。單位圓是整個三角學中最有用的一張圖，非常值得花一節課專門研讀。