均值定理

均值定理（MVT）是微積分中的基礎結果。若 $f$ 在 $[a, b]$ 上連續且在 $(a, b)$ 上可微，則至少存在一點 $c \in (a, b)$ 使得

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

幾何意義：在 $c$ 處的切線平行於通過 $(a, f(a))$ 與 $(b, f(b))$ 的割線。

直觀（開車類比）：若你在 1 小時內行駛 60 英里，平均速率為每小時 60 英里；MVT 保證在某一時刻你的瞬時速率恰好為每小時 60 英里。

MVT 是以下結果背後的引擎：

• 遞增／遞減判別法（$f' > 0 \implies$ 遞增）。
• 微積分基本定理的證明。
• 數值方法中的誤差界（帶餘項的泰勒定理）。
• 微分方程式的唯一性定理。

一個特例（$f(a) = f(b)$）即為羅爾定理：存在一點 $c$ 使得 $f'(c) = 0$。