泰勒級數

函數 $f$ 在點 $a$ 附近的泰勒級數為

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

當 $a = 0$ 時，此級數稱為馬克勞林級數。

著名的展開式：

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$（當 $|x| < 1$ 時）。

將級數在次數 $n$ 處截斷會得到一個多項式近似。這正是計算機內部計算三角函數與指數函數的方式，也是物理學近似「小角度」或「低速」行為的方法。只要函數無限可微且餘項趨近於零，泰勒級數在該處便存在。