弧度

弧度是用比值 $\frac{\text{弧長}}{\text{半徑}}$ 來度量的角——純數，無單位。一弧度是長度等於半徑之弧在圓心所對應的角。

換算：

• 一整圓：$2\pi$ rad $= 360°$
• 半圓：$\pi$ rad $= 180°$
• 直角：$\pi/2$ rad $= 90°$
• $1$ rad $\approx 57.296°$
• 換算式：$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \pi/180$。

為何數學家偏好弧度而非角度：

• $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ 僅當 $x$ 以弧度表示時成立（否則需要一個 $\frac{\pi}{180}$ 的因子）。
• 弧長就是簡單的 $s = r\theta$。
• 泰勒級數的係數很簡潔。

角度是一種任意的歷史慣例（巴比倫的六十進位）。弧度自然地源自圓的幾何，這正是每條物理公式、每本微積分教科書、每個電腦圖學著色器都採用它的原因。