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偏導數

偏導數衡量多變數函數在僅改變一個變數、其餘變數保持不變時的變化情形。記號為 ∂f/∂x。

對於多變數函數 f(x,y,z,…)f(x, y, z, \ldots)，對 xx 的偏導數為

∂f∂x=lim⁡h→0f(x+h,y,…)−f(x,y,…)h,\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y, \ldots) - f(x, y, \ldots)}{h},

此時把其餘所有變數都視為常數。記號：∂\partial（圓體的「d」，讀作「del」）用來和全導數區別。

例：f(x,y)=x2y+3yf(x, y) = x^2 y + 3y。則 ∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy（把 yy 視為常數），而 ∂f∂y=x2+3\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3。

偏導數是多變數微積分的基本構件。梯度 ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,…)\nabla f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \ldots) 指向最陡峭的上升方向——是機器學習中梯度下降法的基礎。偏微分方程式用來建立熱、波、流體、電磁學與量子力學的模型。