收斂

收斂描述數列或級數趨近於一個有限極限的情形。

數列：若對任意 $\varepsilon > 0$ 都存在 $N$，使得對所有 $n > N$ 皆有 $|a_n - L| < \varepsilon$，則 $\{a_n\}$ 收斂於 $L$。

級數：若其部分和 $S_n$ 收斂，則 $\sum a_n$ 收斂。

標準判別法：

• 第 n 項判別法：$a_n \not\to 0$ → 發散。
• 等比級數：$\sum r^n$ 收斂的充要條件是 $|r| < 1$。
• 比較判別法：以已知級數作上界控制。
• 比值判別法：$\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → 收斂。
• 積分判別法：將 $\sum a_n$ 與 $\int_1^\infty f(x) dx$ 連結。
• 交錯級數判別法：若 $b_n$ 單調趨近於 $0$，則 $\sum (-1)^n b_n$ 收斂。

絕對收斂（$\sum |a_n|$ 收斂）比條件收斂更強。調和級數 $\sum 1/n$ 發散，但 $\sum (-1)^n/n$ 收斂（交錯）。