隱函數微分

隱函數微分用於當 $y$ 由方程式隱式定義時，不必先把 $y$ 顯式解出就求得 $\frac{dy}{dx}$。當解出 $y$ 困難或不可能時尤其有用。

步驟：對方程式兩邊關於 $x$ 微分，將 $y$ 視為 $x$ 的函數（因此每個 $y$ 項依連鎖律會帶上一個 $\frac{dy}{dx}$），然後解出 $\frac{dy}{dx}$。

範例：對 $x^2 + y^2 = 25$（一個圓）：

1. 對兩邊微分：$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$。
2. 解出：$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。

如此即可得到圓上任一點的斜率，而不需要 $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$。

隱函數微分是下列情形的標準工具：

• 並非函數圖形之曲線的切線。
• 相關變化率問題（水注入圓錐、梯子沿牆滑下）。
• 對反函數微分（$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 的推導用到它）。
• 求解微分方程式以及某性質為常數的曲線（等高線）。