餘弦定理

餘弦定理把畢氏定理推廣到任意三角形：

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

其中 $c$ 是角 $C$ 的對邊，$a, b$ 為另外兩邊。對稱地：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$。

特殊情形：當 $C = 90°$ 時，$\cos 90° = 0$，公式退化為 $c^2 = a^2 + b^2$——即畢氏定理。

使用情境：

• SSS：已知三邊，求一個角：$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$。
• SAS：已知兩邊及其夾角，直接求第三邊。

它與正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ 相輔相成。兩者合起來可處理解三角形的全部四種情形（SSS、SAS、ASA、AAS）——只有 SSA（模稜兩可的情形）需要額外注意。

餘弦定理也是向量分析中內積的幾何來源：$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$。