黎曼和

黎曼和透過將區間分割成 $n$ 個寬度為 $\Delta x = (b-a)/n$ 的子區間，並加總 $n$ 個矩形的面積，來逼近 $[a, b]$ 上曲線 $y = f(x)$ 下的面積：

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

其中 $x_i^*$ 是第 $i$ 個子區間中的取樣點。常見選法：

• 左黎曼和：$x_i^* = a + (i-1)\Delta x$。
• 右黎曼和：$x_i^* = a + i \Delta x$。
• 中點法則：子區間的中點（較精確）。

當 $n \to \infty$（矩形變得任意細）時，若 $f$ 可積，則黎曼和收斂到定積分：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

這個積分的定義將離散求和與連續面積聯繫起來，也說明了積分符號 $\int$ 作為求和（sum）之「拉長的 S」的由來。黎曼和也是一切數值積分（梯形法則、辛普森法則）的基礎。