常態分布

常態分布（或高斯分布）是那條具代表性的鐘形連續機率分布。其密度函數：

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

完全由兩個參數決定：平均數 $\mu$（位置）與標準差 $\sigma$（離散程度）。

主要性質：

• 對 $\mu$ 對稱。
• 68-95-99.7 法則：約 $68\%$ 的數值落在 $1\sigma$ 以內，$95\%$ 落在 $2\sigma$ 以內，$99.7\%$ 落在 $3\sigma$ 以內。
• 標準常態分布 $N(0, 1)$ 是標準參考；任何常態分布都可透過 $z = (x - \mu)/\sigma$ 加以標準化。

常態分布之所以無所不在，是因為中央極限定理：許多獨立隨機變數之和，無論個別分布為何，都趨近於常態分布。這使它成為量測誤差、IQ、身高、考試分數的預設模型，並成為信賴區間、假設檢定與高斯過程的基礎。