Eine Ableitung misst die momentane Änderungsrate einer Funktion — gleichbedeutend mit der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen in einem einzelnen Punkt.
Math Glossary
Plain-English definitions of core math concepts, each linked to a free solver
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A
Die Amplitude ist die maximale Abweichung einer Welle von ihrem Mittelwert. Für y = A sin(Bx) ist die Amplitude |A|. Größere Amplitude = höhere Welle.
Die Arkusfunktionen (arcsin, arccos, arctan) gewinnen den Winkel aus einem trigonometrischen Verhältnis zurück. arcsin(y) = x bedeutet sin(x) = y, mit eingeschränktem Wertebereich.
B
Der Betrag |x| ist der Abstand von x zur 0 auf dem Zahlenstrahl — stets nichtnegativ. |3| = 3, |-3| = 3.
Ein Binom ist ein Polynom mit genau zwei Gliedern, etwa x + 3 oder 2x² - 5. Es unterscheidet sich von Monomen (1 Glied) und Trinomen (3 Glieder).
C
Der Chi-Quadrat-Test vergleicht beobachtete mit erwarteten Häufigkeiten bei kategorialen Daten. χ² = Σ(O−E)²/E. Verwendet für Anpassungs- und Unabhängigkeitstests.
D
Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller zulässigen Eingaben; der Wertebereich ist die Menge aller möglichen Ausgaben. Zusammen beschreiben sie vollständig, was die Funktion abbildet.
Die Divergenz eines Vektorfelds misst den netto „abfließenden" Fluss an jedem Punkt. ∇·F > 0 bedeutet eine Quelle; < 0 eine Senke. Grundlegend für Strömungsmechanik und Elektromagnetismus.
Ein Dreieck ist ein Vieleck mit drei Seiten, dessen Innenwinkel sich stets zu 180° summieren. Es wird nach Seiten (gleichseitig, gleichschenklig, ungleichseitig) oder nach Winkeln (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) klassifiziert.
E
Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Er definiert die trigonometrischen Funktionen für alle reellen Winkel, nicht nur für spitze.
Ein Exponent gibt an, wie oft eine Basis mit sich selbst multipliziert wird. In aⁿ ist n der Exponent und a die Basis. Beispiel: 2³ = 2·2·2 = 8.
F
Eine Ausdruck zu faktorisieren bedeutet, ihn als Produkt einfacherer Ausdrücke zu schreiben, z. B. x²+5x+6 = (x+2)(x+3). Es ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens.
Der Flächeninhalt misst die Größe eines zweidimensionalen Bereichs — wie viel Fläche er bedeckt. Die Einheiten sind quadratisch (cm², m²). Jede Figur hat ihre eigene Flächenformel.
Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jedem Eingabewert genau einen Ausgabewert zuordnet. Schreibweise: f(x) = ... bedeutet „die Ausgabe von f, wenn x die Eingabe ist“.
G
Der Grad eines Polynoms ist der höchste Exponent seiner Variablen. Grad 1 = linear, 2 = quadratisch, 3 = kubisch, 4 = biquadratisch.
Der Gradient einer mehrdimensionalen Funktion f(x,y,...) ist der Vektor der partiellen Ableitungen. Er zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs und bildet die Grundlage des Gradientenabstiegs.
Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn ihr Argument einem Ziel beliebig nahekommt — ohne es notwendigerweise zu erreichen. Grenzwerte sind die Grundlage sowohl der Ableitungen als auch der Integrale.
H
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn eine eine maßstäblich skalierte Kopie der anderen ist — gleiche Form, möglicherweise andere Größe. Alle entsprechenden Winkel sind gleich; alle entsprechenden Seiten sind proportional.
Der Hypothesentest entscheidet anhand von Stichprobendaten zwischen zwei konkurrierenden Aussagen über eine Population. Wir berechnen eine Teststatistik und verwerfen die Nullhypothese, wenn der p-Wert klein ist.
I
Die implizite Differentiation bestimmt dy/dx, wenn y durch eine Gleichung (etwa x²+y²=25) implizit definiert ist, ohne y zuvor aufzulösen.
Ein Integral ist das kontinuierliche Gegenstück zur Summation — meist die Fläche unter einer Kurve. Bestimmte Integrale liefern Zahlen; unbestimmte Integrale liefern Stammfunktionen.
K
Ein Koeffizient ist der numerische Faktor vor einer Variablen in einem algebraischen Ausdruck. In 5x² ist der Koeffizient 5.
Ein Konfidenzintervall gibt einen Bereich plausibler Werte für einen Populationsparameter an, mit einem angegebenen Konfidenzniveau (z. B. 95 %), das die langfristige Zuverlässigkeit des Verfahrens beschreibt.
Zwei Figuren sind kongruent, wenn die eine durch eine starre Bewegung (Verschiebung, Drehung, Spiegelung) in die andere überführt werden kann — gleiche Form UND gleiche Größe.
Eine Folge oder Reihe konvergiert, wenn sie sich einem endlichen Grenzwert nähert. Andernfalls divergiert sie. Konvergenzkriterien bestimmen, welcher Fall vorliegt.
Ein Koordinatensystem ordnet den Punkten des Raumes Zahlen zu. Kartesisch (x, y) ist in 2D am gebräuchlichsten; Polarkoordinaten (r, θ) werden bei Kreissymmetrie verwendet.
Die Korrelation misst Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen. Der Pearson-Koeffizient r liegt in [-1, 1]: 1 = perfekt positiv, -1 = perfekt negativ, 0 = kein linearer Zusammenhang.
Der Kosekans ist der Kehrwert des Sinus: csc(θ) = 1/sin(θ). Sein Definitionsbereich schließt die Winkel aus, in denen sin = 0 ist (also die Vielfachen von π).
Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf beliebige Dreiecke: c² = a² + b² − 2ab cos(C). Verwende ihn bei SSS- oder SWS-Dreiecksaufgaben.
Der Kotangens ist der Kehrwert des Tangens: cot(θ) = cos(θ)/sin(θ). Der Definitionsbereich schließt die Winkel aus, in denen sin = 0 ist.
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem Mittelpunkt gleich weit entfernt sind. Der konstante Abstand ist der Radius; die längste Sehne durch den Mittelpunkt ist der Durchmesser (2× Radius).
L
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, deren Graph eine Gerade ist. In einer Variablen: ax + b = 0. In zwei Variablen: ax + by = c.
Die lineare Regression passt eine Gerade an Daten an: y = mx + b. Die Gerade minimiert die Summe der quadrierten senkrechten Abstände zu den Punkten (Methode der kleinsten Quadrate).
Ein Logarithmus ist die Umkehrung der Potenzierung: log_a(b) = c bedeutet a^c = b. Er beantwortet die Frage „Welche Potenz von a ergibt b?"
M
Der Median ist der mittlere Wert eines sortierten Datensatzes. Bei einer geraden Anzahl von Werten ist er der Durchschnitt der beiden mittleren Werte. Er ist robust gegenüber Ausreißern.
Der Mittelwert — auch arithmetisches Mittel genannt — ist die Summe einer Wertemenge geteilt durch die Anzahl der Werte. Er ist die häufigste Ein-Zahl-Zusammenfassung eines Datensatzes.
Der Mittelwertsatz besagt, dass es für eine glatte Funktion auf [a,b] einen Punkt c gibt, an dem f′(c) gleich der mittleren Änderungsrate (f(b)−f(a))/(b−a) ist.
Der Modus ist der Wert, der in einem Datensatz am häufigsten vorkommt. Ein Datensatz kann einen Modus, mehrere Modi oder keinen Modus haben. Nützlich für kategoriale Daten.
N
Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) ist eine glockenförmige Wahrscheinlichkeitskurve, die vollständig durch ihren Mittelwert μ und ihre Standardabweichung σ beschrieben wird. Sie ist die Grundlage großer Teile der Statistik.
O
Der Oberflächeninhalt ist die Gesamtfläche aller Flächen eines 3D-Körpers. Anders als das Volumen: Der Oberflächeninhalt wird in Quadrateinheiten (cm²) angegeben, das Volumen in kubischen.
Optimierung in der Analysis bedeutet, Maximal- oder Minimalwerte einer Funktion zu finden. Man setzt f'(x) = 0, um die kritischen Stellen zu bestimmen, und prüft dann auf Maximum/Minimum.
P
Ein p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, Daten zu beobachten, die mindestens so extrem sind wie deine Stichprobe, unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist. Ein kleines p bedeutet Evidenz gegen H₀.
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind. Rechtecke, Rauten und Quadrate sind Sonderfälle.
Eine partielle Ableitung misst, wie sich eine Funktion mehrerer Variablen ändert, wenn sich nur eine Variable ändert und die anderen konstant gehalten werden. Schreibweise: ∂f/∂x.
Die Periode ist die waagrechte Länge, über die eine trigonometrische Funktion einen vollständigen Zyklus durchläuft. sin und cos haben die Periode 2π; tan hat die Periode π.
Das k-te Perzentil ist der Wert, unterhalb dessen k % der Beobachtungen liegen. Das 50. Perzentil ist der Median; das 25. und 75. sind die Quartile.
Die Phasenverschiebung ist eine horizontale Verschiebung einer periodischen Funktion. Für y = sin(Bx + C) ist die Phasenverschiebung -C/B (positiv = nach rechts, negativ = nach links).
Ein Polygon ist eine geschlossene 2D-Figur mit geraden Seiten. Übliche Typen: Dreieck (3), Viereck (4), Fünfeck (5), Sechseck (6) und so weiter.
Ein Polynom ist eine Summe von Termen, von denen jeder aus einer Konstante mal einer Variablen mit nicht-negativem ganzzahligem Exponenten besteht. Beispiele: 3x²+2x-7, x³-4x+1.
Q
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades in einer Variablen, geschrieben als ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Ihr Graph ist eine Parabel.
Quartile teilen einen Datensatz in vier gleich große Teile. Q1 (25. Perzentil), Q2 (Median, 50.), Q3 (75.). Der Interquartilsabstand Q3-Q1 ist ein robustes Streuungsmaß.
R
Ein Radiant ist der Winkel, der von einem Bogen aufgespannt wird, dessen Länge gleich dem Radius ist. Ein voller Kreis sind 2π Radiant (≈ 6,28). In der Analysis erforderliche Einheit.
Ein rationaler Ausdruck ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind, z. B. (x²-1)/(x+2). Vereinfacht wird er durch Faktorisieren und Kürzen gemeinsamer Faktoren.
Die Regel von L’Hôpital löst unbestimmte Grenzwerte der Form 0/0 oder ∞/∞, indem sie den Grenzwert durch den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen ersetzt.
Eine Reihe ist die Summe einer Folge — endlich oder unendlich. Ob eine unendliche Reihe sich zu einer endlichen Zahl aufsummiert, wird durch Konvergenzkriterien bestimmt.
Eine Riemann-Summe nähert die Fläche unter einer Kurve an, indem der Bereich in Rechtecke zerlegt wird. Werden die Rechtecke schmaler, konvergiert die Summe gegen das bestimmte Integral.
Die Rotation eines Vektorfelds misst die lokale Drehung. ∇×F liefert einen Vektor, der entlang der Drehachse zeigt und dessen Betrag proportional zur Drehgeschwindigkeit ist.
S
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist: a² + b² = c².
Der Satz von Bayes kehrt bedingte Wahrscheinlichkeiten um: P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B). Er ist die Grundlage der Bayesschen Inferenz, medizinischer Tests und des maschinellen Lernens.
Der Sekans ist der Kehrwert des Kosinus: sec(θ) = 1/cos(θ). Der Definitionsbereich schließt die Winkel aus, in denen cos = 0 ist (π/2 + kπ).
Sinus, Kosinus und Tangens sind die drei grundlegenden trigonometrischen Funktionen, definiert als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck und über den Einheitskreis auf alle reellen Zahlen erweitert.
Der Sinussatz verbindet die Seiten eines beliebigen Dreiecks mit den Sinuswerten der gegenüberliegenden Winkel: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C).
Die Standardabweichung misst, wie stark ein Datensatz um seinen Mittelwert streut. Eine kleine Standardabweichung bedeutet eng beieinanderliegende Werte; eine große bedeutet gestreute Werte.
Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Wert dort gleich dem Grenzwert ihrer Werte ist, während sich die Eingaben der Stelle nähern — ohne Sprünge, Lücken oder Asymptoten.
Die t-Verteilung ist wie die Normalverteilung glockenförmig, hat aber schwerere Ränder. Sie wird für Inferenz über Mittelwerte verwendet, wenn der Stichprobenumfang klein oder σ unbekannt ist.
T
Eine Tangente berührt eine Kurve in genau einem Punkt und stimmt dort mit der Richtung der Kurve überein. Bei Kreisen steht eine Tangente im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius.
Eine Taylor-Reihe nähert eine glatte Funktion als unendliches Polynom an, das aus ihren Ableitungen in einem einzelnen Punkt aufgebaut ist. Das Abbrechen liefert polynomiale Näherungen.
Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten (den Grundseiten genannt). Flächeninhalt = (1/2)(b₁+b₂)h.
Trigonometrische Identitäten sind Gleichungen zwischen trigonometrischen Funktionen, die für alle gültigen Winkel gelten, z. B. sin²θ + cos²θ = 1. Sie dienen zum Vereinfachen von Ausdrücken und zum Lösen von Gleichungen.
Ein Trinom ist ein Polynom mit genau drei Gliedern, z. B. x² + 5x + 6. Es ist der häufigste Typ, der beim Faktorisieren vorkommt.
U
Der Umfang ist die Gesamtlänge um eine 2D-Figur herum. Bei einem Kreis wird der Umfang als Kreisumfang bezeichnet: C = 2πr.
Ein uneigentliches Integral hat entweder eine unendliche Grenze oder einen Integranden, der irgendwo im Intervall unbeschränkt ist. Es wird als Grenzwert eigentlicher Integrale ausgewertet.
Eine Ungleichung vergleicht zwei Ausdrücke mit <, ≤, > oder ≥. Die Lösungen bilden Intervalle oder Vereinigungen von Intervallen auf der Zahlengeraden.
V
Die Varianz misst die Streuung eines Datensatzes um seinen Mittelwert. Sie ist der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.
Ein Vektor ist eine Größe mit Betrag und Richtung. Schreibweise: ⟨x, y⟩ oder ⟨x, y, z⟩. Vektoren werden komponentenweise addiert und bilden die Grundlage von Physik, Computergrafik und maschinellem Lernen.
Aufgaben zu verwandten Änderungsraten verknüpfen die Änderungsraten zweier oder mehrerer durch eine Gleichung verbundener Variablen. Man verwendet implizites Differenzieren nach der Zeit.
Das Volumen misst den dreidimensionalen Raum, den ein Körper einnimmt. Die Einheiten sind kubisch (cm³, m³). Jede Figur hat ihre eigene Formel; die Analysis verallgemeinert dies über die Integration.
W
Ein Winkel misst die Drehung zwischen zwei Strahlen mit gemeinsamem Endpunkt (dem Scheitel). Gängige Einheiten: Grad (Vollkreis = 360°) und Bogenmaß (Vollkreis = 2π).
Eine Wurzel bezeichnet eine Radizierung: √a ist die Quadratwurzel, ∛a die Kubikwurzel und ⁿ√a die n-te Wurzel. Wurzeln sind die Umkehrung des Potenzierens.
Z
Ein z-Wert misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt. z = (x − μ) / σ. Wird zum Vergleich von Werten über Verteilungen hinweg und zum Nachschlagen von Wahrscheinlichkeiten verwendet.