Die implizite Differentiation bestimmt $\frac{dy}{dx}$ , wenn $y$ durch eine Gleichung implizit definiert ist, ohne $y$ zuvor explizit aufzulösen. Sie ist besonders nützlich, wenn das Auflösen nach $y$ schwierig oder unmöglich ist.

Vorgehen: beide Seiten der Gleichung nach $x$ ableiten und dabei $y$ als Funktion von $x$ behandeln (sodass jeder $y$ -Term über die Kettenregel ein $\frac{dy}{dx}$ erhält), anschließend nach $\frac{dy}{dx}$ auflösen.

Beispiel: für $x^2 + y^2 = 25$ (ein Kreis):

Beide Seiten ableiten: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ .
Auflösen: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

Damit erhält man die Steigung in jedem Punkt des Kreises, ohne $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ zu benötigen.

Die implizite Differentiation ist das Standardwerkzeug für:

Tangenten an Kurven, die keine Funktionsgraphen sind.
Probleme mit verwandten Änderungsraten (Wasser füllt einen Kegel, eine Leiter rutscht an einer Wand herab).
die Ableitung von Umkehrfunktionen (die Herleitung von $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ verwendet sie).
das Lösen von Differentialgleichungen und Kurven konstanter Eigenschaft (Niveaulinien).

Implizite Differentiation

Die implizite Differentiation bestimmt dy/dx, wenn y durch eine Gleichung (etwa x²+y²=25) implizit definiert ist, ohne y zuvor aufzulösen.