Logarithmus

Ein Logarithmus ist die Umkehroperation der Potenzierung. Der Ausdruck $\log_a b = c$ bedeutet genau $a^c = b$ — der Logarithmus beantwortet die Frage „Auf welche Potenz muss ich $a$ erheben, um $b$ zu erhalten?"

Gebräuchliche Basen:

• $\log_{10}$ (dekadischer Logarithmus) — verwendet bei pH-Wert, Dezibel, Richterskala.
• $\ln = \log_e$ (natürlicher Logarithmus) — Analysis und Modelle stetigen Wachstums.
• $\log_2$ — Informatik, Informationstheorie.

Wichtige Eigenschaften:

• $\log(xy) = \log x + \log y$ (verwandelt Produkt in Summe)
• $\log(x^n) = n \log x$ (verwandelt Potenz in Produkt)
• Basiswechsel: $\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$ für jede Bezugsbasis.

Logarithmen komprimieren riesige Wertebereiche (Erde-Mond-Entfernung gegenüber der Breite eines Atoms) auf handhabbare Skalen und linearisieren exponentielle Daten — deshalb sind Diagramme mit logarithmischer Achse in der Wissenschaft so verbreitet.