Chi-Quadrat-Test (χ²)

Der Chi-Quadrat-($\chi^2$)-Test ist das Standardwerkzeug für kategoriale Daten. Die Teststatistik:

$\chi^2 = \sum_i \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

wobei $O_i$ die beobachteten Häufigkeiten und $E_i$ die unter $H_0$ erwarteten sind.

Drei gängige Varianten:

• Anpassungstest: Stimmt die beobachtete Verteilung mit einer theoretischen überein? (Ist ein Würfel fair?). $df = k - 1$.
• Unabhängigkeitstest: Sind zwei kategoriale Variablen unabhängig? (Ist das Geschlecht unabhängig von der Wahlpräferenz?). $df = (r-1)(c-1)$ für $r \times c$-Kontingenztafeln.
• Varianztest: weniger gebräuchlich.

Voraussetzung: Die erwarteten Häufigkeiten müssen hinreichend groß sein (typischerweise $\geq 5$ in jeder Zelle). Bei kleinen Stichproben stattdessen den exakten Test von Fisher verwenden.

Die Chi-Quadrat-Verteilung selbst ist die Verteilung einer Summe quadrierter standardnormalverteilter Größen — sie dient zur Konstruktion der kritischen Werte.