Riemann-Summe

Eine Riemann-Summe nähert die Fläche unter einer Kurve $y = f(x)$ auf $[a, b]$ an, indem das Intervall in $n$ Teilintervalle der Breite $\Delta x = (b-a)/n$ zerlegt und die Flächen von $n$ Rechtecken aufsummiert werden:

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

wobei $x_i^*$ ein Stützpunkt im $i$-ten Teilintervall ist. Übliche Wahlen:

• Linke Riemann-Summe: $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$.
• Rechte Riemann-Summe: $x_i^* = a + i \Delta x$.
• Mittelpunktsregel: Mittelpunkt des Teilintervalls (genauer).

Für $n \to \infty$ (die Rechtecke werden beliebig schmal) konvergiert die Riemann-Summe, falls $f$ integrierbar ist, gegen das bestimmte Integral:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

Diese Definition des Integrals verbindet diskrete Summation mit stetiger Fläche und motiviert die Integralschreibweise $\int$ als „gestrecktes S“ für Summe. Riemann-Summen liegen außerdem jeder numerischen Integration zugrunde (Trapezregel, Simpson-Regel).