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geometry

Vektor

Ein Vektor ist eine Größe mit Betrag und Richtung. Schreibweise: ⟨x, y⟩ oder ⟨x, y, z⟩. Vektoren werden komponentenweise addiert und bilden die Grundlage von Physik, Computergrafik und maschinellem Lernen.

Ein Vektor hat sowohl Betrag als auch Richtung, im Gegensatz zu einem Skalar, der nur einen Betrag hat.

Koordinaten: v⃗=⟨x,y⟩\vec{v} = \langle x, y \rangle (2D) oder ⟨x,y,z⟩\langle x, y, z \rangle (3D). Betrag ∣v⃗∣=x2+y2+⋯|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + \cdots}.

Operationen:

  • Addition / Subtraktion: komponentenweise.
  • Skalarmultiplikation: skaliert den Betrag.
  • Skalarprodukt: u⃗⋅v⃗=∑uivi=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum u_i v_i = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta — misst die Ausrichtung und liefert einen Skalar.
  • Kreuzprodukt (nur in 3D): u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} — senkrecht auf beiden, mit Betrag ∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta.

Vektoren beschreiben die Physik (Kraft, Geschwindigkeit), die Computergrafik (Positionen, Normalen), das maschinelle Lernen (Merkmalsvektoren, Gradienten, Embeddings) und die Geometrie. Ihre Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen und abstrakte Räume (Hilbert-Räume) ist die Grundlage großer Teile der modernen Mathematik.