Eine Funktion $f$ ist stetig an $x = a$ , wenn drei Bedingungen erfüllt sind:

$f(a)$ ist definiert,
$\lim_{x \to a} f(x)$ existiert, und
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Anschaulich: Man kann den Graphen durch diesen Punkt zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. Häufige Unstetigkeiten sind hebbar (eine Lücke), Sprung (links- und rechtsseitiger Grenzwert verschieden) und unendlich (senkrechte Asymptote).

Stetigkeit ist die grundlegende Voraussetzung der meisten Sätze der Analysis. Der Zwischenwertsatz besagt, dass stetige Funktionen jeden Wert zwischen zwei beliebigen Funktionswerten annehmen. Der Satz vom Maximum und Minimum garantiert, dass stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall ein Maximum und ein Minimum annehmen. Differenzierbarkeit erfordert Stetigkeit, aber Stetigkeit impliziert keine Differenzierbarkeit — $|x|$ ist überall stetig, aber bei $0$ nicht differenzierbar.

Stetigkeit

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Wert dort gleich dem Grenzwert ihrer Werte ist, während sich die Eingaben der Stelle nähern — ohne Sprünge, Lücken oder Asymptoten.