Ähnlichkeit

Zwei geometrische Figuren sind ähnlich, wenn eine eine skalierte (und ggf. gedrehte/gespiegelte) Kopie der anderen ist. Schreibweise: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Ähnlichkeitsbedingungen (Dreiecke):

• WW: zwei Paare gleicher Winkel → ähnlich (das dritte Paar stimmt zwangsläufig, da die Winkelsumme $180°$ beträgt).
• SWS: zwei Paare proportionaler Seiten + gleicher eingeschlossener Winkel → ähnlich.
• SSS: drei Paare proportionaler Seiten → ähnlich.

Wesentliche Folgerungen:

• Alle entsprechenden Winkel sind gleich.
• Alle entsprechenden Seiten sind proportional mit demselben Verhältnis $k$ (dem Streckfaktor).
• Flächen skalieren mit $k^2$, Volumina skalieren mit $k^3$.

Ähnlichkeit ist die Grundlage von:

• Trigonometrie — die trigonometrischen Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab, nicht von der Dreiecksgröße, da alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben Winkel ähnlich sind.
• Kartenmaßstäben und Bauzeichnungen.
• Fraktalen und selbstähnlichen Strukturen.
• Bildskalierung in der Grafik — bewahrt die visuelle Identität, da sie eine Ähnlichkeitsabbildung ist.

Abgrenzung zur Kongruenz: kongruent bedeutet ähnlich und gleich groß (Streckfaktor 1).