Normalverteilung

Die Normalverteilung (oder Gauß-Verteilung) ist die ikonische glockenförmige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ihre Dichte:

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

ist vollständig durch zwei Parameter bestimmt: den Mittelwert $\mu$ (Lage) und die Standardabweichung $\sigma$ (Streuung).

Wichtige Eigenschaften:

• Symmetrisch um $\mu$.
• 68-95-99,7-Regel: $\approx 68\%$ der Werte innerhalb von $1\sigma$, $95\%$ innerhalb von $2\sigma$, $99{,}7\%$ innerhalb von $3\sigma$.
• Die Standardnormalverteilung $N(0, 1)$ ist die kanonische Referenz; jede Normalverteilung lässt sich über $z = (x - \mu)/\sigma$ standardisieren.

Die Normalverteilung tritt wegen des zentralen Grenzwertsatzes überall auf: Die Summe vieler unabhängiger Zufallsvariablen strebt unabhängig von ihren Einzelverteilungen gegen die Normalverteilung. Das macht sie zum Standardmodell für Messfehler, IQ, Körpergröße, Prüfungsnoten und zur Grundlage von Konfidenzintervallen, Hypothesentests und Gauß-Prozessen.