Die Studentsche t-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die der Normalverteilung ähnelt — glockenförmig, symmetrisch — aber mit schwereren Rändern. Sie hängt von einem Parameter ab, den Freiheitsgraden (df).

Wann man sie verwendet: Inferenz über einen Populationsmittelwert, wenn (1) die Populationsstandardabweichung $\sigma$ unbekannt ist (aus der Stichprobe als $s$ geschätzt) UND (2) der Stichprobenumfang $n$ klein ist.

Die t-Statistik: $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ folgt einer t-Verteilung mit $n - 1$ Freiheitsgraden.

Eigenschaften: Für $df \to \infty$ konvergiert die t-Verteilung gegen die Standardnormalverteilung $N(0, 1)$ . Für $df < 30$ verbreitern die schweren Ränder die Konfidenzintervalle merklich — man „zahlt" dafür, $\sigma$ nicht zu kennen.

Geschichte: entwickelt von William Gosset in der Guinness-Brauerei (er veröffentlichte unter dem Pseudonym „Student", weil Guinness Veröffentlichungen von Mitarbeitern untersagte). Sie liegt den t-Tests (Einstichproben-, Zweistichproben-, gepaarter Test) und den Konfidenzintervallen für Mittelwerte bei unbekannter Varianz zugrunde.

Studentsche t-Verteilung

Die t-Verteilung ist wie die Normalverteilung glockenförmig, hat aber schwerere Ränder. Sie wird für Inferenz über Mittelwerte verwendet, wenn der Stichprobenumfang klein oder σ unbekannt ist.