Grenzwert

Informell bedeutet $\lim_{x \to a} f(x) = L$: Wenn $x$ (von beiden Seiten) beliebig nahe an $a$ kommt, kommt $f(x)$ beliebig nahe an $L$. Die Funktion muss bei $a$ nicht definiert sein, und selbst wenn sie es ist, muss der Funktionswert $f(a)$ nicht gleich $L$ sein.

Die formale $\varepsilon$-$\delta$-Definition verlangt: Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $\delta > 0$, sodass $|x - a| < \delta$ die Ungleichung $|f(x) - L| < \varepsilon$ impliziert.

Grenzwerte präzisieren den Begriff des "Annäherns, aber nicht Gleichseins" — der Motor hinter Ableitungen ($h \to 0$) und Integralen (Riemann-Summen mit Feinheit $\to 0$). Viele physikalische und ökonomische Modelle beruhen implizit auf Grenzwertargumenten.