Reihe (unendliche Summe)

Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge. Die endliche Reihe $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ ist einfach eine gewöhnliche Addition. Die unendliche Reihe $\sum_{i=1}^\infty a_i$ ist der Grenzwert der Partialsummen $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ für $n \to \infty$.

Wenn $\lim_{n\to\infty} S_n$ existiert und endlich ist, konvergiert die Reihe; andernfalls divergiert sie. Berühmte Beispiele:

• Die geometrische Reihe $\sum r^n$ konvergiert gegen $\frac{1}{1-r}$, wenn $|r| < 1$.
• Die harmonische Reihe $\sum \frac{1}{n}$ divergiert (langsam).
• Basler Problem: $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

Die Konvergenz wird durch Kriterien entschieden: Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Integralkriterium, Vergleichskriterium, Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen. Taylor-Reihen approximieren Funktionen durch Polynome beliebig hohen Grades — die Grundlage der numerischen Analysis und physikalischer Näherungen.