Taylor-Reihe

Die Taylor-Reihe einer Funktion $f$ um einen Punkt $a$ ist

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

Für $a = 0$ wird die Reihe als Maclaurin-Reihe bezeichnet.

Bekannte Entwicklungen:

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ (für $|x| < 1$).

Bricht man die Reihe beim Grad $n$ ab, erhält man eine polynomiale Näherung. So berechnen Taschenrechner intern trigonometrische und Exponentialfunktionen, und so nähert die Physik das Verhalten bei „kleinem Winkel“ oder „geringer Geschwindigkeit“ an. Die Taylor-Reihe existiert überall dort, wo die Funktion unendlich oft differenzierbar ist und das Restglied gegen null strebt.