Arkusfunktionen (Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen)

Arkusfunktionen (Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen) gewinnen den Winkel aus einem trigonometrischen Verhältnis zurück. Die drei wichtigsten:

• $\arcsin(y) = x$ bedeutet $\sin(x) = y$, mit $x \in [-\pi/2, \pi/2]$.
• $\arccos(y) = x$ bedeutet $\cos(x) = y$, mit $x \in [0, \pi]$.
• $\arctan(y) = x$ bedeutet $\tan(x) = y$, mit $x \in (-\pi/2, \pi/2)$.

Der eingeschränkte Wertebereich ist notwendig, weil $\sin$, $\cos$, $\tan$ nicht injektiv sind — viele Winkel teilen dasselbe trigonometrische Verhältnis. Durch Einschränken des Zielbereichs erzwingen wir eine eindeutige Umkehrfunktion.

Schreibweise: $\sin^{-1}(x)$ ist dasselbe wie $\arcsin(x)$ — aber nicht dasselbe wie $1/\sin(x)$ (das ist $\csc x$). Diese Mehrdeutigkeit der Notation ist ein häufiger Schülerfehler.

Arkusfunktionen treten beim Lösen von Dreiecksaufgaben auf (den Winkel finden, wenn die Seiten bekannt sind), in der Analysis (ihre Ableitungen sind handlich: $\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$) und in der Physik (Winkel aus Koordinaten über $\arctan2$ berechnen).