Kosinussatz

Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf beliebige Dreiecke:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

wobei $c$ die dem Winkel $C$ gegenüberliegende Seite ist und $a, b$ die beiden anderen Seiten sind. Symmetrisch: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$.

Spezialfall: Für $C = 90°$ ist $\cos 90° = 0$, und die Formel reduziert sich auf $c^2 = a^2 + b^2$ — den Satz des Pythagoras.

Anwendungsfälle:

• SSS: aus drei Seiten einen Winkel bestimmen: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
• SWS: aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite direkt bestimmen.

Pendant zum Sinussatz $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. Zusammen decken sie alle vier Fälle der Dreiecksberechnung ab (SSS, SWS, WSW, SWW) — nur SSW (der mehrdeutige Fall) erfordert zusätzliche Sorgfalt.

Der Kosinussatz ist auch der geometrische Ursprung des Skalarprodukts in der Vektoranalysis: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$.