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calculus

Rotation (Vektoranalysis)

Die Rotation eines Vektorfelds misst die lokale Drehung. ∇×F liefert einen Vektor, der entlang der Drehachse zeigt und dessen Betrag proportional zur Drehgeschwindigkeit ist.

Die Rotation von F⃗\vec{F} im R3\mathbb{R}^3 ist selbst ein Vektorfeld, berechnet durch ein formales Kreuzprodukt:

∇×F⃗=(∂F3∂y−∂F2∂z, ∂F1∂z−∂F3∂x, ∂F2∂x−∂F1∂y).\nabla \times \vec{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z},\ \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x},\ \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right).

Der Betrag misst die lokale Drehrate; die Richtung ist die Drehachse (Rechte-Hand-Regel).

Ein Feld mit ∇×F⃗=0⃗\nabla \times \vec{F} = \vec{0} ist wirbelfrei — Gradientenfelder (konservative Felder) sind stets wirbelfrei. Eine von null verschiedene Rotation weist auf eine lokale Zirkulation hin.

Der Satz von Stokes setzt das Oberflächenintegral der Rotation gleich dem Linienintegral von F⃗\vec{F} entlang des Randes. Wird im Elektromagnetismus (Maxwell-Faraday-Gesetz), in der Strömungsmechanik (Wirbelstärke) und in der Aerodynamik verwendet.