Satz von Bayes

Der Satz von Bayes setzt bedingte Wahrscheinlichkeiten zueinander in Beziehung und erlaubt es, die Richtung der Bedingung umzukehren:

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}$

Aus der A-priori-Wahrscheinlichkeit $P(A)$ (Ihrem Glauben vor der Evidenz) und der Likelihood $P(B \mid A)$ berechnet man die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit $P(A \mid B)$ — Ihren aktualisierten Glauben, nachdem $B$ beobachtet wurde.

Klassisches Beispiel eines medizinischen Tests: Krankheitsprävalenz 1 %, Testsensitivität 99 %, Falsch-positiv-Rate 1 %. Die Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, bei einem positiven Test:

$\frac{0.99 \cdot 0.01}{0.99 \cdot 0.01 + 0.01 \cdot 0.99} = \frac{1}{2}$

Trotz eines zu 99 % genauen Tests bedeutet ein positives Ergebnis nur eine 50-prozentige Wahrscheinlichkeit der Erkrankung — weil die Krankheit selten ist. Der „Basisratenfehler" (das Vergessen der A-priori-Wahrscheinlichkeit) ist der häufigste Bayes-Fehler.

Bayes ist die Grundlage der Bayesschen Inferenz, der Naive-Bayes-Klassifikatoren, von Spamfiltern und forensischem Schließen.