Ableitung

Die Ableitung einer Funktion $f(x)$ an einer Stelle $x_0$ ist als der Grenzwert

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$

definiert, sofern dieser Grenzwert existiert. Geometrisch ist sie die Steigung der Tangente in $(x_0, f(x_0))$; physikalisch ist sie die momentane Änderungsrate der durch $f$ dargestellten Größe.

Ableitungen sind linear (die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen), und mit einem kleinen Satz von Regeln — Potenz-, Produkt-, Quotienten-, Kettenregel — lassen sich die meisten elementaren Funktionen mechanisch ableiten, ohne jedes Mal zur Grenzwertdefinition zurückzukehren.

Ableitungen sind grundlegend für die Optimierung (Maxima und Minima finden), für die Physik (Geschwindigkeit ist die Ableitung der Position, Beschleunigung der Geschwindigkeit), für das maschinelle Lernen (Gradientenabstieg) und für die Wirtschaft (Grenzkosten / Grenzerlös).