Betrag (Absolutbetrag)

Der Betrag einer reellen Zahl $x$, geschrieben $|x|$, ist ihr Abstand von $0$ auf dem Zahlenstrahl — stets nichtnegativ. Formale Definition:

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

Gängige Regeln:

• $|ab| = |a||b|$
• $|a/b| = |a|/|b|$ (mit $b \neq 0$)
• $|a + b| \leq |a| + |b|$ — die Dreiecksungleichung.

Das Lösen von $|x - 3| = 5$ erfordert, beide Fälle zu betrachten: $x - 3 = 5$ oder $x - 3 = -5$, was $x = 8$ oder $x = -2$ liefert.

Verallgemeinerungen: In der komplexen Ebene ist $|z|$ der Abstand von $0$ in 2D. In Vektorräumen wird $|\vec{v}|$ zur Norm. Der Betrag verallgemeinert sich auf jede Struktur, in der "Größe" oder "Abstand" Sinn ergeben.