z-Wert (Standardwert)

Ein z-Wert (Standardwert) ist der Abstand eines Werts vom Mittelwert, ausgedrückt in Einheiten von Standardabweichungen:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

(für Stichprobendaten $\bar{x}$ und $s$ verwenden).

Ein z-Wert von $+2$ bedeutet „zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert“; $-1.5$ bedeutet „1,5 darunter“.

Mit z-Werten kann man:

• Werte aus verschiedenen Verteilungen vergleichen — ein Kind mit 80 Punkten in Test A ($\mu=70, \sigma=5$) ist beeindruckender (z=2) als 80 in Test B ($\mu=75, \sigma=10$, z=0,5).
• Wahrscheinlichkeiten nachschlagen in einer Standardnormaltabelle — P($Z < 1.96$) ≈ 0,975, die Grundlage des 95-%-KI.
• Ausreißer erkennen — per Konvention markiert $|z| > 3$ eine ungewöhnliche Beobachtung in annähernd normalverteilten Daten.

Die Standardisierung (z-Transformation) ist zudem ein grundlegender Vorverarbeitungsschritt im maschinellen Lernen: Werden die Eingaben auf Mittelwert 0 und Standardabweichung 1 skaliert, hilft das dem Gradientenabstieg zu konvergieren und verhindert, dass Merkmale mit größeren Einheiten (z. B. Einkommen in Dollar vs. Alter in Jahren) distanzbasierte Modelle dominieren.