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calculus

Partielle Ableitung

Eine partielle Ableitung misst, wie sich eine Funktion mehrerer Variablen ändert, wenn sich nur eine Variable ändert und die anderen konstant gehalten werden. Schreibweise: ∂f/∂x.

Für eine Funktion mehrerer Variablen f(x,y,z,…)f(x, y, z, \ldots) ist die partielle Ableitung nach xx

∂f∂x=lim⁡h→0f(x+h,y,…)−f(x,y,…)h,\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y, \ldots) - f(x, y, \ldots)}{h},

wobei alle anderen Variablen als Konstanten behandelt werden. Schreibweise: ∂\partial (das gerundete „d“, gelesen „del“) unterscheidet von gewöhnlichen Ableitungen.

Beispiel: f(x,y)=x2y+3yf(x, y) = x^2 y + 3y. Dann ist ∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy (yy wird als Konstante behandelt) und ∂f∂y=x2+3\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3.

Partielle Ableitungen sind die Bausteine der mehrdimensionalen Analysis. Der Gradient ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,…)\nabla f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \ldots) zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs — die Grundlage des Gradientenabstiegs im maschinellen Lernen. Partielle Differentialgleichungen modellieren Wärme, Wellen, Fluide, Elektromagnetismus und Quantenmechanik.