Für eine Funktion mehrerer Variablen $f(x, y, z, \ldots)$ ist die partielle Ableitung nach $x$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y, \ldots) - f(x, y, \ldots)}{h},$

wobei alle anderen Variablen als Konstanten behandelt werden. Schreibweise: $\partial$ (das gerundete „d“, gelesen „del“) unterscheidet von gewöhnlichen Ableitungen.

Beispiel: $f(x, y) = x^2 y + 3y$ . Dann ist $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ ( $y$ wird als Konstante behandelt) und $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$ .

Partielle Ableitungen sind die Bausteine der mehrdimensionalen Analysis. Der Gradient $\nabla f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \ldots)$ zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs — die Grundlage des Gradientenabstiegs im maschinellen Lernen. Partielle Differentialgleichungen modellieren Wärme, Wellen, Fluide, Elektromagnetismus und Quantenmechanik.

Partielle Ableitung

Eine partielle Ableitung misst, wie sich eine Funktion mehrerer Variablen ändert, wenn sich nur eine Variable ändert und die anderen konstant gehalten werden. Schreibweise: ∂f/∂x.