Mittelwertsatz

Der Mittelwertsatz (MWS) ist ein grundlegendes Resultat der Analysis. Ist $f$ auf $[a, b]$ stetig und auf $(a, b)$ differenzierbar, so gibt es mindestens einen Punkt $c \in (a, b)$, sodass

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

Geometrisch: Die Tangente in $c$ ist parallel zur Sekante durch $(a, f(a))$ und $(b, f(b))$.

Anschauung (Fahranalogie): Legst du in 1 Stunde 60 Meilen zurück, beträgt deine Durchschnittsgeschwindigkeit 60 mph; der MWS garantiert, dass deine Momentangeschwindigkeit zu irgendeinem Zeitpunkt genau 60 mph betrug.

Der MWS ist der Motor hinter:

• dem Monotoniekriterium ($f' > 0 \implies$ wachsend).
• dem Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
• Fehlerschranken in numerischen Verfahren (Satz von Taylor mit Restglied).
• Eindeutigkeitssätzen für Differentialgleichungen.

Ein Spezialfall ($f(a) = f(b)$) ist der Satz von Rolle: Es gibt ein $c$ mit $f'(c) = 0$.