Ein uneigentliches Integral weist mindestens eines der folgenden Merkmale auf:

Unendliche Grenze: $\int_a^\infty f(x) \, dx$ oder $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$ .
Unbeschränkter Integrand irgendwo in $[a, b]$ (senkrechte Asymptote).

Beide werden als Grenzwerte eigentlicher Integrale ausgewertet:

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

Ist er endlich, konvergiert das Integral; andernfalls divergiert es.

Berühmte Beispiele:

$\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$ ✓
$\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty$ ✗ (langsameres Abklingen divergiert)
$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ — Gauß-Integral.

Konvergenzkriterien (Vergleichskriterium, p-Test) entscheiden, ob sich das Integrieren überhaupt lohnt. Uneigentliche Integrale treten in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Normierung der Dichtefunktion), bei Fourier-Transformationen und in der Physik auf.

Uneigentliches Integral

Ein uneigentliches Integral hat entweder eine unendliche Grenze oder einen Integranden, der irgendwo im Intervall unbeschränkt ist. Es wird als Grenzwert eigentlicher Integrale ausgewertet.