Konvergenz

Konvergenz beschreibt, wann sich eine Folge oder Reihe einem endlichen Grenzwert nähert.

Folge: $\{a_n\}$ konvergiert gegen $L$, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $N$ gibt, sodass $|a_n - L| < \varepsilon$ für alle $n > N$ gilt.

Reihe: $\sum a_n$ konvergiert, wenn ihre Partialsummen $S_n$ konvergieren.

Standardkriterien:

• Trivialkriterium (n-tes Glied): $a_n \not\to 0$ → divergiert.
• Geometrische Reihe: $\sum r^n$ konvergiert genau dann, wenn $|r| < 1$.
• Vergleichskriterium: durch eine bekannte Reihe abschätzen.
• Quotientenkriterium: $\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → konvergiert.
• Integralkriterium: verbindet $\sum a_n$ mit $\int_1^\infty f(x) dx$.
• Leibniz-Kriterium (alternierende Reihe): $\sum (-1)^n b_n$ konvergiert, wenn $b_n$ monoton gegen $0$ geht.

Absolute Konvergenz ($\sum |a_n|$ konvergiert) ist stärker als bedingte Konvergenz. Die harmonische Reihe $\sum 1/n$ divergiert; $\sum (-1)^n/n$ konvergiert (alternierend).