数学术语表

余切是正切的倒数：cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)。定义域排除使 sin = 0 的角度。

余割是正弦的倒数：csc(θ) = 1/sin(θ)。定义域排除使 sin = 0 的角（即 π 的整数倍）。

p 值是在原假设为真的前提下，观察到至少与你的样本一样极端之数据的概率。p 值小代表有反对 H₀ 的证据。

正割是余弦的倒数：sec(θ) = 1/cos(θ)。定义域排除使 cos = 0 的角度（π/2 + kπ）。

t 分布像正态分布一样呈钟形，但尾部更厚。当样本量较小或 σ 未知时，用于对均值的推断。

Z 分数衡量某个数值高于或低于平均数多少个标准差。z = (x − μ) / σ。用于跨分布比较数值以及查表求概率。

一元二次方程是一个变量的二次多项式方程，写作 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。其图像是一条抛物线。

一次方程是图形为直线的方程。在单变量时为 ax + b = 0；在双变量时为 ax + by = c。

三角形是有三条边的多边形，其内角和恒为 180°。可按边（等边、等腰、不等边）或按角（锐角、直角、钝角）分类。

三角恒等式是连结三角函数、对所有有效角度皆成立的等式，例如 sin²θ + cos²θ = 1。用于化简式子与求解方程。

三项式是恰有三项的多项式，例如 x² + 5x + 6。它是因式分解练习中最常见的类型。

不等式使用 <、≤、>、≥ 比较两个式子。解在数轴上构成区间或区间的并集。

中位数是已排序数据集的中间值。当数据个数为偶数时，取中间两个值的平均。它对离群值具有稳健性。

中值定理指出，对于 [a,b] 上的光滑函数，存在一点 c 使得 f′(c) 等于平均变化率 (f(b)−f(a))/(b−a)。

二项式是恰有两项的多项式，例如 x + 3 或 2x² - 5。与单项式（1 项）和三项式（3 项）相区别。

众数是数据集中出现最频繁的数值。一个数据集可以有一个众数、多个众数或没有众数。对于类别型数据相当有用。

体积衡量一个立体所占的三维空间。单位为立方（cm³、m³）。每种图形各有其公式；微积分透过积分将其推广。

余弦定理把勾股定理推广到任意三角形：c² = a² + b² − 2ab cos(C)。用于 SSS 或 SAS 的三角形问题。

假设检验利用样本数据在关于总体的两个相互竞争的主张之间做出判定。我们计算一个检验统计量，若 p 值很小则拒绝原假设。

偏导数衡量多变量函数在仅改变一个变量、其余变量保持不变时的变化情形。记号为 ∂f/∂x。

若能通过刚体运动（平移、旋转、镜射）将一个图形变换成另一个图形，则两图形全等——形状相同且大小相同。

微积分中的最优化是指寻找函数的最大值或最小值。令 f'(x) = 0 求出临界点，再判定其为极大或极小。

函数是一条规则，对每个输入恰好指定一个输出。记法：f(x) = ... 表示“当 x 为输入时 f 的输出”。

切线恰在一点与曲线相切，并在该点与曲线的方向一致。对圆而言，切线在切点处与半径垂直。

勾股定理指出：在任何直角三角形中，斜边的平方等于另两边平方之和：a² + b² = c²。

单位圆是圆心在原点、半径为 1 的圆。它为所有实数角度（不只是锐角）定义三角函数。

卡方检验在分类数据中比较观测次数与期望次数。χ² = Σ(O−E)²/E。用于拟合优度检验与独立性检验。

反三角函数（arcsin、arccos、arctan）由三角比还原出角。arcsin(y) = x 表示 sin(x) = y，且输出范围受到限制。

反常积分指积分上下限为无穷，或被积函数在区间某处无界的积分。以正常积分的极限来计算其值。

向量是同时具有大小与方向的量。记法：⟨x, y⟩ 或 ⟨x, y, z⟩。向量逐分量相加，并支撑物理学、图形学与机器学习。

周期是三角函数完成一个完整循环所需的水平长度。sin 与 cos 的周期为 2π；tan 的周期为 π。

周长是二维图形外围的总长度。对于圆形，其周长称为圆周长：C = 2πr。

四分位数将数据集分成四等份。Q1（第 25 百分位数）、Q2（中位数，第 50 百分位数）、Q3（第 75 百分位数）。四分位距 Q3−Q1 是稳健的离散度量。

对一个式子做因式分解，就是把它改写为较简单式子的乘积，例如 x²+5x+6 = (x+2)(x+3)。它是展开的逆运算。

圆是平面上到某一中心距离相等的所有点的集合。这个固定的距离是半径；过圆心最长的弦是直径（半径的 2 倍）。

坐标系为空间中的点赋予数值。二维中以直角坐标 (x, y) 最常见；具有圆对称时则使用极坐标 (r, θ)。

多边形是由直线边围成的封闭二维图形。常见类型：三角形（3）、四边形（4）、五边形（5）、六边形（6）等。

多项式是若干项之和，每一项由一个常数乘以变量的非负整数次幂构成。例如：3x²+2x-7、x³-4x+1。

多项式的次数是其变量上最高的指数。次数 1 = 一次，2 = 二次，3 = 三次，4 = 四次。

函数的定义域是所有有效输入的集合；值域是所有可能输出的集合。两者合起来就能完整描述该函数所对应的内容。

对数是指数运算的逆运算：log_a(b) = c 表示 a^c = b。它回答“a 的几次幂等于 b？”

导数衡量函数的瞬时变化率——等价地说，就是函数图像在某一点处切线的斜率。

平均数——又称算术平均——是一组数值的总和除以数值的个数。它是数据集最常用的单一数值摘要。

平行四边形是两组对边皆平行的四边形。矩形、菱形与正方形皆为其特例。

弧度是长度等于半径之弧所对应的角。一整圆为 2π 弧度（≈ 6.28）。是微积分中必需的单位。

指数表示一个底数自乘多少次。在 aⁿ 中，n 是指数，a 是底数。例如：2³ = 2·2·2 = 8。

振幅是波偏离其中心的最大幅度。对于 y = A sin(Bx)，振幅为 |A|。振幅越大，波越高。

若数列或级数趋近于一个有限极限，则称为收敛；否则为发散。收敛判别法用来判断属于哪一种情形。

向量场的散度衡量每一点处的净「外流量」。∇·F > 0 表示源（涌出），< 0 表示汇（吸入）。是流体力学与电磁学的基础。

方差衡量数据集相对于平均值的离散程度。它是偏差平方的平均值。标准差是方差的平方根。

向量场的旋度衡量局部旋转。∇×F 给出一个指向旋转轴方向、大小与旋转速率成正比的向量。

有理式是分子与分母皆为多项式的分数，例如 (x²-1)/(x+2)。通过因式分解并约去公因式来化简。

极限描述当函数的输入任意接近某个目标值时，函数所趋近的值——而不必真正达到。极限是导数与积分的基础。

标准差衡量数据集围绕其平均值的分散程度。标准差小表示数值紧密聚集；标准差大表示数值分散。

根号表示方根：√a 是平方根，∛a 是立方根，ⁿ√a 是 n 次方根。根号是乘方的逆运算。

多变量函数 f(x,y,...) 的梯度是由各偏导数组成的向量。它指向函数上升最陡的方向，是梯度下降法的基础。

梯形是至少有一组平行边（称为上下底）的四边形。面积 = (1/2)(b₁+b₂)h。

正弦、余弦与正切是三个基本三角函数，定义为直角三角形边长之比，并通过单位圆推广至所有实数。

正弦定理将任意三角形的边与其对角的正弦联系起来：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。

正态分布（高斯分布）是一条钟形概率曲线，完全由其平均数 μ 与标准差 σ 描述。它是统计学中许多内容的基础。

泰勒级数将一个光滑函数近似为由其在某一点的各阶导数构成的无限次多项式。截断后即得到多项式近似。

洛必达法则通过把极限替换为导数之比的极限，来求解形如 0/0 或 ∞/∞ 的不定型极限。

第 k 百分位数是有 k% 的观测值落在其以下的数值。第 50 百分位数即中位数；第 25 与第 75 百分位数即四分位数。

若一个图形是另一个图形按比例缩放后的复本，则两个图形相似——形状相同，大小可能不同。所有对应角相等；所有对应边成比例。

相位移是周期函数的水平平移。对 y = sin(Bx + C)，相位移为 -C/B（正值 = 向右，负值 = 向左）。

相关衡量两个变量之间线性关系的强度与方向。皮尔逊系数 r 落在 $[-1, 1]$：1 = 完全正相关，-1 = 完全负相关，0 = 没有线性关系。

相关变化率问题将以某方程式相连结的两个以上变量的变化率关联起来。对时间使用隐函数微分。

积分是求和的连续类比——最常见的是曲线下方的面积。定积分得到一个数值；不定积分得到原函数（反导函数）。

系数是代数式中位于变量前的数值因子。在 5x² 中，系数为 5。

级数是一个数列的和——可以是有限的，也可以是无穷的。一个无穷级数能否加总为一个有限数，由收敛判别法决定。

线性回归对数据拟合一条直线：y = mx + b。这条直线使各点到直线之竖直距离的平方和最小（最小二乘法）。

绝对值 |x| 是数轴上 x 到 0 的距离——恒为非负。|3| = 3，|-3| = 3。

置信区间给出总体参数的一段合理数值范围，并附带一个明示的置信水平（例如 95%），用以描述该过程在长期上的可靠度。

表面积是三维立体所有面的面积总和。它与体积不同：表面积以平方单位（cm²）表示，体积则以立方单位表示。

角衡量共享一个公共端点（顶点）的两条射线之间的旋转量。常用单位：度（一整圈 = 360°）和弧度（一整圈 = 2π）。

贝叶斯定理可反转条件概率：P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)。它是贝叶斯推断、医学检测与机器学习的基础。

函数在某一点连续，是指它在该点的取值等于自变量趋近该点时函数值的极限——没有跳跃、空洞或渐近线。

隐函数微分用于当 y 由方程（如 x²+y²=25）隐式定义时，不必先解出 y 就求得 dy/dx。

面积衡量二维区域的大小——它覆盖了多少表面。单位是平方（cm²、m²）。每种图形都有各自的面积公式。

黎曼和通过将区域分割成矩形来逼近曲线下的面积。当矩形变得越来越细时，此和收敛到定积分。