中值定理

中值定理（MVT）是微积分中的基础结果。若 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续且在 $(a, b)$ 上可微，则至少存在一点 $c \in (a, b)$ 使得

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

几何意义：在 $c$ 处的切线平行于通过 $(a, f(a))$ 与 $(b, f(b))$ 的割线。

直观（开车类比）：若你在 1 小时内行驶 60 英里，平均速率为每小时 60 英里；MVT 保证在某一时刻你的瞬时速率恰好为每小时 60 英里。

MVT 是以下结果背后的引擎：

• 递增／递减判别法（$f' > 0 \implies$ 递增）。
• 微积分基本定理的证明。
• 数值方法中的误差界（带余项的泰勒定理）。
• 微分方程的唯一性定理。

一个特例（$f(a) = f(b)$）即为罗尔定理：存在一点 $c$ 使得 $f'(c) = 0$。