弧度

弧度是用比值 $\frac{\text{弧长}}{\text{半径}}$ 来度量的角——纯数，无单位。一弧度是长度等于半径之弧在圆心处所对应的角。

换算：

• 一整圆：$2\pi$ rad $= 360°$
• 半圆：$\pi$ rad $= 180°$
• 直角：$\pi/2$ rad $= 90°$
• $1$ rad $\approx 57.296°$
• 换算式：$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \pi/180$。

为何数学家偏爱弧度而非角度：

• $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ 仅当 $x$ 以弧度表示时成立（否则需要一个 $\frac{\pi}{180}$ 的因子）。
• 弧长就是简单的 $s = r\theta$。
• 泰勒级数的系数很简洁。

角度是一种任意的历史惯例（巴比伦的六十进制）。弧度自然地源自圆的几何，这正是每条物理公式、每本微积分教科书、每个计算机图形学着色器都采用它的原因。