级数（无穷和）

级数是一个数列各项的和。有限级数 $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ 就是普通的加法。无穷级数 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 是当 $n \to \infty$ 时部分和 $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ 的极限。

若 $\lim_{n\to\infty} S_n$ 存在且有限，则级数收敛；否则发散。著名的例子：

• 几何级数 $\sum r^n$ 当 $|r| < 1$ 时收敛于 $\frac{1}{1-r}$。
• 调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 会（缓慢地）发散。
• 巴塞尔问题：$\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$。

收敛性由各种判别法判定：比值判别法、根值判别法、积分判别法、比较判别法、交错级数判别法。泰勒级数用任意高次的多项式逼近函数——这是数值分析与物理近似的基础。