收敛

收敛描述数列或级数趋近于一个有限极限的情形。

数列：若对任意 $\varepsilon > 0$ 都存在 $N$，使得对所有 $n > N$ 皆有 $|a_n - L| < \varepsilon$，则 $\{a_n\}$ 收敛于 $L$。

级数：若其部分和 $S_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。

标准判别法：

• 第 n 项判别法：$a_n \not\to 0$ → 发散。
• 等比级数：$\sum r^n$ 收敛的充要条件是 $|r| < 1$。
• 比较判别法：以已知级数作上界控制。
• 比值判别法：$\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → 收敛。
• 积分判别法：将 $\sum a_n$ 与 $\int_1^\infty f(x) dx$ 联系起来。
• 交错级数判别法：若 $b_n$ 单调趋近于 $0$，则 $\sum (-1)^n b_n$ 收敛。

绝对收敛（$\sum |a_n|$ 收敛）比条件收敛更强。调和级数 $\sum 1/n$ 发散，但 $\sum (-1)^n/n$ 收敛（交错）。